light mode
night mode
উচ্চতর গণিত
উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্স ও ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ম্যাট্রিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ ম্যাট্রিক্সের সরল নির্ণায়ক নির্ণায়কের ধর্মাবলি নির্ণায়কের ধর্ম ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরণের সমস্যা সমাধান নির্ণায়কের অনুরাশি ও সহগুনক নির্নায়কের মান নির্নয় বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স একঘাত সমীকরণ জোট বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে ক্রেমারের নিয়মে ভেক্টর দ্বিমাত্রিক ও ক্রিমাত্রিক জগতে i, j, k একটি ভেক্টরকে i, j, k দ্বারা প্রকাশ সমতলে ভেক্টরের অংশক সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ ভেক্টরের গুণন স্কেলার গুণন ভেক্টর গুণন সরল রেখা কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সঞ্চারপথের সমীকরণ সরলরেখার ঢাল বিভিন্ন আকারের সরলরেখার সমীকরণ দুইটি সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল বা লম্ব হওয়ার শর্ত কোন বিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ বৃত্ত নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ বৃত্তের সাধারণ ও আদর্শ সমীকরণ বৃত্তের স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য দুইটি বৃত্তের সধারণ জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয় বিন্যাস ও সমাবেশ বিন্যাস কি ? n! দ্বারা কি বুঝায়? বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র ও এর প্রয়োগ সমাবেশ কি? সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র ও এর প্রয়োগ সম্পূরক সমাবেশ শর্তাধীন সমাবেশ ক্রিকোণমিতিক অনুপাত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ধারণা ত্রিকোণমিতিক রাশির পরিচয় এবং তাদের মূলসূত্র কোণের ডিগ্রি,রেডিয়ান পরিমাপ চতুর্ভাগ অনুযায়ী ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের চিহ্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের সংজ্ঞা সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত যৌগিক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত গুনিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত উপগুনিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত ত্রিকোনমিতিক অভেদ ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র অন্বয় ও ফাংশন ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ বিভিন্ন ধরণের ফাংশন এক-এক ফাংশন সার্বিক ফাংশন সংযোজিত ফাংশন অভেদ ফাংশন ধ্রুবক ফাংশন বিপরীত ফাংশন বিপরীত ফাংশনের ডোমেইম এবং রেঞ্জ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায় কিছু গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের লেখচিত্র দ্বিঘাত ফাংশন সূচক ফাংশন লগারিদমিক ফাংশন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পরমমান ফাংশন অন্তরীকরণ লিমিট লিমিট হিসাবে অন্তরজ একপদী ও বহুপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ অন্তরজের ধারণা থেকে কোন বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শক ও অভিলম্বের ঢাল ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যোগজীকরণ অনির্দিষ্ট যোগজ নির্দিষ্ট যোগজ নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা বাস্তব সংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যার উপসেট পরমমান সম্বলিত অসমতা এক চলকের অসমতাকে সংখ্যারেখার সাহায্যে সমধান যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear progamming) যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের ধারণা মূল ধারণাসমূহ গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনাল কনসেপ্ট যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সুবিধা ও চ্যালেঞ্জসমূহ যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামে সমস্যা গঠন যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের এর শর্ত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের বাস্তব জীবনের প্রয়োগ গাণিতিক মডেল তৈরি জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) জটিল সংখ্যার ধর্ম জটিল সংখ্যা ও এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Argand diagram) জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) ও নতি (আর্গুমেন্ট) জটিল সংখ্যার বর্গমূল একের ঘনমূল সম্পর্কিত সমস্যা বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomials and Polynomials Equations) দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন ত্রিঘাত সমীকরণ দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions) দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ, মধ্য পদ ও সমদূরবর্তী পদ অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি কনিক (Conics) পরাবৃত্ত উপবৃত্ত অধিবৃত্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (Inverse Trigonometric Functions and Trigonometric Equations) বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন কী? বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণাবলী ও গাণিতিক ব্যাখ্যা sin −1 (x),cos −1 (x),tan −1 (x) এর সংজ্ঞা বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গ্রাফ বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণ বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংমিশ্রণ স্থিতিবিদ্যা (Statics) স্থিতিবিদ্যার পরিচয় বল ও শক্তির বেসিক ধারণা বহুবিধ বলের কার্যকারিতা লিভার (Levers) এবং তার প্রকারভেদ গোলোক (Couple) এবং তার প্রভাব পিভট (Pivot) ও তার ব্যবহার নমনীয়তা (Elasticity) এবং তার সম্পর্ক . এ্যাঙ্গেল (Angle) এবং তার প্রভাব সমতলে বস্তুকণার গতি (Motion of particles in a plane) সমতলে বস্তুকণার গতি সম্পর্কে ধারণা বস্তুকণার গতির পরিমাণ গতি এবং ত্বরণের উপাদান বৃত্তাকার গতি (Circular Motion) গতি সমীকরণ (Equations of Motion) শক্তি এবং কাজ গতি সম্পর্কিত বিশেষ সমস্যা বিস্তার পরিমাপ ও সম্ভাবনা (Measures of Dispersions and Probability) উপাত্তের বিস্তার পরিমাপ শ্রেণিকৃত ও অশ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাংক একই ঘটনার পুনরাবৃতি ঘটলে সম্ভাবনা পরস্পর বর্জনশীল ও অবর্জনশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার যোগসূত্র অনির্ভরশীল ও নির্ভলশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার গুণনসূত্রের প্রয়োগ বাস্তব জীবনভিত্তিক সহজ সমস্যার সমাধান

নমনীয়তা (Elasticity) এবং তার সম্পর্ক

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র | | NCTB BOOK
2

নমনীয়তা (Elasticity) হলো একটি বস্তু বা পদার্থের সেই গুণ, যা তাকে বাহ্যিক বল বা শক্তি প্রয়োগ করার পর তার আকার বা আয়তন পরিবর্তন করতে দেয়, এবং বলটির অপসারণের পর সেই পরিবর্তনটি ফিরে আসতে সক্ষম হয়। সহজ ভাষায়, নমনীয়তা হল একটি বস্তু বা পদার্থের স্বাভাবিক অবস্থায় ফিরে আসার ক্ষমতা, যখন তার ওপর বাহ্যিক প্রভাব প্রয়োগ করা হয় এবং পরবর্তীতে সেই প্রভাব অপসারণ করা হয়।

নমনীয় বস্তু যখন একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে বাঁকা বা সঙ্কুচিত বা প্রসারিত হয়, তখন তা আবার তার মূল অবস্থায় ফিরে আসতে সক্ষম হয়। যদি বাহ্যিক প্রভাবটি তার নমনীয়তার সীমা ছাড়িয়ে যায়, তবে বস্তুটি স্থায়ীভাবে বিকৃত হয়ে যেতে পারে, যার ফলে তার আসল আকার ফিরে আসতে পারে না।

নমনীয়তার ধরণ:

নমনীয়তা বিভিন্ন ধরণের হতে পারে, যার মধ্যে প্রধানত তিনটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

  1. প্রসারণ (Tensile) নমনীয়তা:
    • যখন কোনো পদার্থের দৈর্ঘ্য বাড়ানোর জন্য বাহ্যিক বল প্রয়োগ করা হয়, এটি প্রসারণ নমনীয়তা বলা হয়। যেমন, কোনও দড়ি বা ধাতু টানলে তার দৈর্ঘ্য বাড়ে এবং পরে বলটি অপসারণ করলে তা আবার আগের আকারে ফিরে আসে।
    • উদাহরণ: দড়ি, স্ট্রিং, রাবার।
  2. সংকোচন (Compressive) নমনীয়তা:
    • যখন কোনো পদার্থের দৈর্ঘ্য কমানোর জন্য বাহ্যিক বল প্রয়োগ করা হয়, এটি সংকোচন নমনীয়তা বলা হয়। যেমন, যেকোনো পদার্থে চাপ প্রয়োগ করলে তার আকার ছোট হয়ে যেতে পারে এবং চাপ অপসারণের পর এটি আবার পূর্বের অবস্থায় ফিরে আসে।
    • উদাহরণ: রাবার, ধাতু।
  3. বাঁকানো (Shear) নমনীয়তা:
    • যখন কোনো পদার্থে বাঁকানোর জন্য বাহ্যিক বল প্রয়োগ করা হয়, তখন এই ধরনের নমনীয়তা হয়। এর মাধ্যমে পদার্থের আকার এবং গঠন পরিবর্তিত হয়, কিন্তু বল অপসারণের পর তা পুনরুদ্ধার হতে পারে।
    • উদাহরণ: কাঠ, লোহার পাত।

নমনীয়তার সূত্র:

নমনীয়তা বোঝার জন্য সাধারণত হুকের আইন (Hooke's Law) ব্যবহার করা হয়, যা বল প্রয়োগের পর বস্তুটির প্রতিক্রিয়া বা স্ট্রেন (strain) এর সাথে সম্পর্কিত।

হুকের আইন:
\[
F = k \times x
\]
এখানে,

  • \( F \) হলো প্রয়োগকৃত বল (Force),
  • \( k \) হলো বস্তুটির স্টিফনেস বা কঠিনতা (Spring constant),
  • \( x \) হলো বস্তুটির আকারে পরিবর্তন (যেমন, প্রসারণ বা সংকোচন)।

যখন কোনো বস্তুতে বাহ্যিক বল প্রয়োগ করা হয় এবং এটি তার আকার পরিবর্তন করে, তখন \( x \) পরিবর্তিত হয়, এবং \( F \) অনুযায়ী এটি পুনরুদ্ধার করার জন্য একটি প্রতিক্রিয়া (restoring force) তৈরি হয়।

নমনীয়তা ও তার সম্পর্ক:

নমনীয়তা বিভিন্ন পদার্থের গুণাবলী এবং বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত, বিশেষ করে তাদের প্রকৃতি এবং অণু-স্তরের সংযোগের সঙ্গে। নমনীয়তার পরিপ্রেক্ষিতে দুটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক রয়েছে:

  1. সামঞ্জস্য (Balance) সম্পর্ক:
    • যেকোনো বস্তু বা পদার্থের নমনীয়তা তার তন্তু বা অণু শক্তি এবং তার রাসায়নিক বৈশিষ্ট্যের ওপর নির্ভর করে। অর্থাৎ, দুটি বস্তু একে অপরকে টানলে তাদের নমনীয়তা কাজ করবে এবং সেটি আসল আকারে ফিরে আসবে যদি তারা কোনো স্থায়ী বিকৃতির মধ্যে না পড়ে।
  2. লিঙ্ক (Link) সম্পর্ক:
    • নমনীয়তার লিঙ্ক তার শক্তি এবং গতির সাথে সম্পর্কিত। যেমন, একটি বস্তুর শক্তি প্রয়োগ করলে এটি তার গতির অবস্থান পরিবর্তন করবে, কিন্তু এর নমনীয়তা প্রক্রিয়া তাকে কিছু সময়ের জন্য তার মূল অবস্থায় ফিরিয়ে আনবে।

নমনীয়তার প্রভাব:

  • প্রাকৃতিক উপাদানে নমনীয়তা: উদাহরণস্বরূপ, গাছের শাখা বা পাতা বাহ্যিক শক্তি প্রয়োগের পর তার আকার পরিবর্তন করতে পারে এবং পরে ফের ফিরে আসতে পারে।
  • ইঞ্জিনিয়ারিং ডিজাইনে নমনীয়তা: বিভিন্ন ধরনের যান্ত্রিক যন্ত্রাংশ যেমন, বসন্ত, সাসপেনশন সিস্টেম ইত্যাদির কাজের প্রক্রিয়া নমনীয়তার উপর নির্ভরশীল।
  • ধাতু ও প্লাস্টিকের নমনীয়তা: ধাতু ও প্লাস্টিকের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য তাদের নমনীয়তার মাত্রার উপর ভিত্তি করে নির্ধারণ করা হয়। এটি প্রয়োগের মাধ্যমে বিভিন্ন ধরনের যন্ত্র ও যন্ত্রাংশ তৈরি করা সম্ভব হয়।

সারাংশ:

নমনীয়তা একটি গুরুত্বপূর্ণ পদার্থবিজ্ঞান গুণ, যা বস্তুর আকার বা আয়তন পরিবর্তন করার পর আবার প্রাকৃতিক অবস্থায় ফিরে আসার ক্ষমতা বোঝায়। এটি প্রকৌশল, যান্ত্রিক ডিজাইন এবং দৈনন্দিন জীবনের অনেক যন্ত্রাংশে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। নমনীয়তা বুঝতে হুকের আইন এবং প্রকারভেদগুলোর প্রভাব গুরুত্বপূর্ণ।

Read more

নমনীয়তা (Elasticity) এবং তার সম্পর্ক

or

Don't have an account? Register

Promotion